Ì инистерство общ его и профессионального образования Российской Ф едерации
Ï ермский государственный технический университет
Кафедра математического моделирования систем и процессов
Ï .Ã.Ô ðèê
ТУРБУЛЕН ТН О СТЬ: М ОДЕЛИ И П ОДХОДЫ
Ï åðìü 1998
ÓÄÊ 532.517.4
Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I /
Ï .Ã.Ô ðèê; Ï åðì. ãîñ. òåõí. óí-ò. Ï åðìü, 1998. 108 ñ.
Ï ервая часть курса лекций вклю чает в себя введение и три из семи разделов курса «Турбулентность: модели и подходы». П ервый раздел содержит базовые сведения из механики жидкости, необходимые для дальнейш его изложения. Второй посвящ ен вопросам, связанным со стохастиче- ским поведением маломодовых систем гидродинамического типа. В третьем разделе выводятся уравнения для статистических моментов пульсаций скорости и дается краткий обзор моделей, используемых для их замыкания.
Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей. И л.64. Библиогр. 12 назв.
Рецензенты: |
кафедра физики П ермского |
государственного технического университета, |
|
д-р физ.-мат.наук, профессор Д.В.Любимов |
© П ермский государственный технический университет,
ВВЕДЕН И Е........................................................................................................................ |
||
ÎÑÍ Î ÂÛ ...................................................................................................................... |
||
Уравнения движения жидкости.......................................................................................................... |
||
Устойчивостьтечений....................................................................................................................... |
||
Свободная конвекция несжимаемой жидкости................................................................................ |
||
Конвективная устойчивость............................................................................................................. |
||
М аломодовая модель конвекции (система Лоренца) ...................................................................... |
||
ХАОС В Д И Н А М ИЧЕСКИХ СИСТЕМ АХ............................................................. |
||
Консервативные и диссипативныесистемы..................................................................................... |
||
Бифуркации....................................................................................................................................... |
||
Как описать переход и хаос? .......................................................................................................................... |
||
Спектры Ф урье.................................................................................................................................. |
||
Странный аттрактор......................................................................................................................... |
||
Ф ракталы........................................................................................................................................... |
||
Субгармонический каскад................................................................................................................ |
||
Н екоторые примеры......................................................................................................................... |
||
ПОЛУЭМ П И РИЧЕСКИ Е М ОДЕЛИ....................................................................... |
||
Развитая турбулентность.................................................................................................................. |
||
Уравнения для статистических моментов........................................................................................ |
||
Турбулентная вязкость................................................................................................................... |
||
Длина пути смеш ения...................................................................................................................... |
||
М одели переноса турбулентной вязкости...................................................................................... |
||
Двухпараметрическиемодели........................................................................................................ |
||
ВВЕДЕН И Е
Турбулентность остается одним из наиболее сложных объектов исследования механики жидкости и газа. За почти столетню ю историю ее изучения предложены десятки различных подходов, почти всегда отражаю щ ие наиболееактивно развиваемые перспективные направления математики и физики соответствую щ его периода времени. Статистическая физика и теория вероятности, теория размерности, фурье анализ и прямые численныеметоды, теория динамических систем, теория фракталов и вейв- лет-анализ- вот далеко не полный перечень областей науки, которые давали основные идеи исследователям турбулентности.
Теория турбулентности далека от своего заверш ения. П родолжаю т появлятсяи всеновые подходы кееизучению. Растетчисло моделей, предлагаемых для лучш его понимания отдельныхеесвойств. Дать представление об основных идеях, движущ их этот процесс, продемонстрировать возможности различных подходов и показать проблемы, ими не разреш енные, представить современные модели, не вош едш ие ещ е в учебники и не став- ш ие хрестоматийными - вот цель предлагаемого курса лекций.
Курс предназначен для студентов специальности "прикладная математика", ориентирую щ ихся на работу в научно-исследовательских учреждениях и на кафедрах, в особенности тех, что связаны с реш ением задач механики жидкости и газа. В то же время, в курсе рассматриваю тся и общ ие подходы к моделированию сложных динамических систем, которые могут быть полезными специалистам, занимаю щ имся моделированием самых различных (и нетолько механических) систем и явлений. Курс рассчитан на студентов, получивш их ш ирокую базовую подготовку по основным математичеким дисциплинам, вклю чая методы математической физики, функциональный анализ и теорию вероятности, а также прослуш авш их спецкурсы по механике (механику сплош ных сред, теорию определяю щ их соотнош ений).
Курс лекций состоит из двух частей. В первую часть вклю чены три главы, вклю чаю щ ие в основном сведения, которыеможно найти в различ- ных учебниках и монографиях, но собранные воедино и изложенныевсвете задач, обсуждаемых в этом курсе. Вторая часть содержит результаты, которые, заредким исклю чением, не вош ли ещ е в книги и могут быть найдены только в оригинальных статьях.
П ервая глава содержит базовыесведения по динамике несжимаемых жидкостей, вклю чая вывод уравнений движения для идеальной и вязкой жидкости и примеры задач, имею щ их точные реш ения. Даны основы тео-
рии устойчивости, имею щ ей важнейш еезначение в понимании проблем перехода от ламинарных течений к турбулентным. П одробно обсуждаются две задачи: устойчивость плоского течений П уазейля (задача ОрраЗоммерфельда) и задача Релея о конвективной устойчивости подогреваемого снизу горизонтального слоя несжимаемой жидкости. П оследняя зада- ча предворяется выводом уравнений свободной конвекции в приближении Буссинеска и обсуждением необходимых условий устойчивости неоднородно нагретой жидкости, находящ ейся в поле сил тяжести. Особое внимание уделяется вопросу о безразмерном представлении уравнений движения, о законах подобия и о безразмерных параметрах и их роли в описании процессов перехода к хаотическому поведению. Глава заканчиваетсявыводом маломодовой модели конвекции (модель Лоренца). Этот вывод имеет методическую цель - показать и обсудить проблему проектирования нелинейных уравнений движения на конечномерный базис и переход от уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В то же время подробный вывод модели полезен, так как полученная система уравнений ш ироко используетсявследую щ ей главе, где подробно обсуждаю тсяеесвойства.
Значительный прогресс в понимании природы и свойств турбулентности произош ел в последние десятилетия благодаря успехам теории динамических систем, позволивш им понять как хаотическое поведение возникает в детерминированных системах. Этим результатам посвящ ена вторая глава, в которой приводятся базовые сведения из теории динамических систем и обсуждаю тсянекоторые приложения. Вводитсяпонятие фазового пространства и даны примеры фазовых портретов некоторых простых динамических систем. Обсуждаются особенности эволю ции консервативных и диссипативных систем. Для диссипативных систем вводится понятие аттрактора, обсуждаются свойства аттракторов стохастических систем. И з- лагаютсякраткие сведения из теории фракталов, даетсяпонятие обобщ енной размерности и описаны алгоритмы определения размерности аттракторов стохастических систем. Даны основы теории бифуркаций, рассмотрены некоторыеметоды исследования перехода к хаосу и характреистики динамических систем при периодическом и хаотическом поведении (сече- ния П уанкаре, показатели Ляпунова, энтропия Колмогорова, спектры Ф у- рье). Описаны и обсуждены основныесценарии перехода от порядка к хаосу: сценарий Ландау, сценарий Рю эля и Таккенса, субгармонический каскад. В заклю чение главы рассматриваются примеры гидродинамических систем, демонстрирую щ их хаотическое поведение. П роведен подробный анализповедения модели Лоренца, уравнения которой выведены в первой главе. Рассмотрена также простейш ая модель генерации магнитного поля Земли (динамо Рикитаки), воспроизводящ ая эффект случайных перебросов направления магнитного поля. П оказаны и обсуждены также результаты
экспериментального наблю дения хаотизации конвективного течения в замкнутой полости.
В третьей главе начинается знакомство с методами описания развитой турбулентности, а именно, с исторически первым и наиболееразвитым подходом к описанию турбулентных потоков. Это подход Рейнольдса и выросш ие из него многочисленные полуэмпирические модели турбулентности. Н ачинается глава с определения статистических моментов случайных полей, характеризую щ их турбулентный поток. Далеедан вывод уравнения Рейнольдса для средних полей и обсуждаются вопросы, связанныес появлением в уравнениях тензора напряжений Рейнольдса. П оказано, как получается цепочка уравнений Ф ридмана-Келлера и формулируется проблема замыкания. Разговор о путях реш ения этой проблемы начинается с описаниягипотезы Буссинеска для тензора напряжений, определения понятия турбулентной вязкости, описания и обсуждения модели пути смеш ения П рандтля. В последую щ их параграфах рассмотрены более сложные модели: модели переноса турбулентной вязкости и двухпараметрическиемодели типа k − ε модели. П олуэмпирическим моделям в предлагаемом курсе лекций уделено сравнительно скромное место по двум причинам. Во-первых, именно этот подход наиболее полно освещ ен в литературе и может быть свободно изучен по учебникам. Во-вторых, основной целью данного курса является знакомство с методами изучения свойств мелкомасш табной турбулентности (однородной изотропной турбулентности), которая как рази остается за полем зрения полуэмпирических моделей. П оэтому описание этих подходов необходимо только для общ его знакомства с идеологией метода, даю щ его возможность ссылаться на него в дальнейш ем и проводить необходимыесравнения.
1 ÎÑÍ Î ÂÛ
1.1 Уравнения движения жидкости
Гидродинамика - это раздел механики сплош ных сред, описываю щ ий движение жидкостей и газов в рамках модели сплош ной среды. П оследнее означает, что рассматриваю тсямасш табы l >> λ , ãäå λ - длина свободного пробега молекул.
Рассматривается физически бесконечно малый объем, и вводятся характеристики среды: скорость v и две термодинамические величины: давление P и плотность ρ .
1.1.1 Уравнение непрерывности
Законы движения выводятсяиззаконовсохранения. Сначала используетсязакон сохранения вещ ества. В пространстве фиксируется некоторый объем V , ограниченный поверхностью S , масса которого равна
m = ò ρ dV .
È зменение массы этого объема есть
∂ m = ∂ ò ρ dV ,
∂ t ∂ t V
а вытекаю щ ий из объема поток жидкости
ò ρ vn dS .
Если за положительное направление принять направление движения израссматриваемого объема, то условие сохранения массы можно записать в виде
∂ t ò ρdV = − ò ρv n dS .
П равая часть равенства преобразуется по теореме ОстроградскогоГаусса
ò ρ vn dS = ò div(ρ v) dV . |
|||
¶ρ |
|||
òêé |
Div(ρ v ) ú ù dV = 0 |
||
ë¶t |
|||
а так как равенство должно быть справедливо для любого объема, то подынтегральное выражение должно удовлетворять уравнению
которое называют уравнением непрерывности (неразрывности) . Для несжимаемой жидкости плотность есть величина постоянная (ρ = const ) и уравнение (1.1) упрощ ается:
1.1.2 И деальная жидкость
Уравнения для скорости выведем сначала для идеальной жидкости. И деальная жидкостьэто жидкостьбез вязкости и теплопроводности.
Закон сохранения импульса для движущ егося жидкого объемаесть
(ò ρ vdv) = å Fi |
||
где в правой части стоит сумма всех сил, действую щ их на выделенный объем. Ограничиваясь рассмотрением силы тяжести и сил давления, запи- ш ем
ò ρ vdV = ò ρ gdV + ò (− P) dS . |
|||
Учитывая, что ò d dt ρ dV º 0 (интеграл берется по жидкой частице, то
есть по заданному количеству жидкости, а не по заданному объему), можно переписать уравнение в виде
òρ |
(v )= ò (ρ g |
- Ñ P ) dV |
||
и, снова исходя изпроизвольного выбора объема частицы, перейти к дифференциальной форме
Ñ P |
||||||||
Входящ ая в |
уравнение производная |
Это субстанциональная |
||||||
производная, которая описывает изменение скорости жидкой частицы. Рассмотрение движения отдельных жидких частиц называется подходом Лагранжа к описанию движения жидкости. В больш инстве случаев предпочтительным является подход Эйлера, который заклю чается в описании характеристик жидкости в заданной точке. Чтобы получить уравнение движения в форме Эйлера, нужно получить связь между субстанциональной и локальной производными. Запиш ем приращ ение скорости
dt + |
dx + |
dy + |
||||||||
и получим изнего связь субстанциональной (полной) производной по времени с частной производную скорости по времени (изменение скорости в заданной точке)
dt ¶ t ¶ x dt ¶ y dt ¶ z dt dt |
x ¶ x |
y ¶ y |
z ¶ z |
|||||||||||||||||||||||
И спользуя полученное соотнош ение, приходим к уравнению Эйлера , полученному им ещ е в 1755 г.:
(v Ñ )v |
Ñ P + |
|||||||
Гидростатическое приближение получается при условии отсутствия движения, то есть равенства нулю скорости и производной по времени:
v = 0 . |
|||||||
Таким образом, |
|||||||
Ñ p + |
|||||||
èëèÑ p = ρ g . Учитывая, что сила тяжести направлена вертикально вниз и считая, что по вертикали направлена координата z , ò.å. g = − ge z , получим
Запиш ем теперь поток импульса в тензорных обозначениях. Отметим, что в дальнейш ем мы иногда производную по времени будем обозначать как ¶ t .
¶ t (ρ v i ) = ρ ¶ t v i + ¶ t ρ v i
Уравнение непрерывности перепиш ем в виде
∂t ρ − ∂ (ρ v k ) = 0 , ∂ x k
а уравнение Эйлера (1.5) в виде
∂ v |
= − v |
∂v i |
∂P |
||||||
k ∂ x ë |
ρ ∂x i |
||||||||
П одставим две последние формулы в выражение для изменения импульса:
(ρ v |
) = - ρ v |
¶v i |
¶ (ρ v k ) |
(ρ v |
|||||||||||||||||||||||
k ¶ x k |
¶x k |
||||||||||||||||||||||||||
¶x i |
i ¶ x k |
¶x i |
|||||||||||||||||||||||||
= - δ |
(ρ v |
) = - |
(δ P + ρv |
||||||||||||||||||||||||
ik ¶ x k |
¶x k |
¶x k |
|||||||||||||||||||||||||
и введем тензор плотности потока импульса, описываю щ ий перенос i -ой компоненты импульса через площ адку, перпендикулярную k -îé îñè
сайт - Несмотря на длительный перерыв, сайт возобновляет рубрику, посвященную тем, кто по-настоящему любит, ценит и понимание искусство татуировки. Представляем нашу сегодняшнюю героиню - девушку по имени Фрида , рассказавшая и показавшая нам свои необычные изображения на теле.
Для большей ясности стоит также упомянуть о необычной профессии девушки - она работает моделью в фрик-театре, поэтому татуировки не только совсем не мешают девушке, но и являются неотъемлемой частью ее яркого образа.
«Интерес к татуировкам проснулся у меня очень рано, поэтому достигнув совершеннолетия, я прямиком метнулась воплощать мечту в реальность - сделала себе вот такие звездочки на внутренней стороне бедра».
«Прошло некоторое время, прежде чем у меня появились следующие и самые дорогие мне тату - надписи на руках с именами любимых дочурок - Даяны и Эмилии».
«Позже я добила себе еще немного звездочек, для полноты ансамбля».
«Следующими моими татуировками, так привлекающими всеобщее внимание, стали персонажи аниме обожаемого мной японского режиссера-аниматора Хаяо Миядзаки. Думаю, объяснять, почему большая девочка решила забить себе рукав героями мультфильмов не имеет смысла - те, кто любят аниме, поймут меня без слов, а те, кто не любят, не поймут никогда».
«Ну а последняя моя татуировка - надпись на спине с названием фрик-театра, в котором работаю - дань уважения и обожания делу, которым я занимаюсь. Его директором является автор всех моих татуировок - бодимодификатор Винс, и, можно сказать, я ходячий проект этой организации)».
Красота-понятие относительное, а её каноны меняются порой очень быстро. В нашем обзоре представлены фотографии девяти нестандартных моделей со всего мира , разрушающие стереотипы и доказывающие, что красивой, желанной и востребованной можно быть, несмотря ни на что.
Девушка без ноги - Виктория Модеста
Латышская певица и модель перенесла 15 неэффективных операций на поврежденной при родах ноге. Вскоре ногу пришлось ампутировать. Но уверенности в себе у нее не поубавилось. Скорее, наоборот. Своим примером она вдохновляет многих.
Два метра красоты - Эрика Ирвин
35-летняя модель из Калифорнии Эрика Ирвин благодаря своему росту - 2 метра 5 сантиметров - считается одной из самых высоких и самых популярных моделей мира.
Инопланетянка на подиуме - Маша Тельна
Украинская модель с удивительно большими глазами. Ее часто называют «пришельцем» и «прекрасным эльфом».
Сексапильная Лили МакМенами
Восходящая звезда модельного бизнеса, мягко говоря, уж слишком нестандартная модель Лили МакМенами покорила подиумы мировых брендов и завоевала несметное количество мужских сердец.
Провокационная модель - Мелани Гайдос
Мелани Гайдос – арт-модель немецкого происхождения, живущая в Нью-Йорке. Необычная внешность Мелани привлекает фотографов и художников. Девушка часто участвует в самых провокационных фотосессиях, не стесняясь сниматься обнаженной. Лысая голова, отсутствие бровей и ресниц, заячья губа - всё это создаёт яркий образ, оказывающий на окружающих сильное впечатление. Звездой интернета Мелани стала после того, как в 2012 году снялась в клипе немецкой группы Rammstein на песню Mein Herz Brennt (Мое сердце горит).
Аппетитная Дениз Бидо
28-летняя пуэрториканская модель считается одной из самых востребованных моделей XXL. Бидо горда, что стала наглядным примером того, что успешной и красивой можно быть всегда, для всех женщин тяжелее 55 килограммов
Андрогинная Кейси Леглер
Эта французская модель стала первой, с кем заключили контракт как с мужчиной. Она рекламирует мужскую одежду. Рост Леглер - 188 сантиметров. Короткая стрижка, острые скулы и волевой подбородок делают Кейси очень похожей на молодого человека.
Редкое исключение из правил – модель, андроген, фрик – Данила Поляков и сам старается жить не по правилам. Он единственный русская супермодель мужского пола, которого приглашают для участия в показах John Galiano, Fendi, Vivienne Westwood, Moschino.
Рыжеволосый и зеленоглазый – во времена средневековья его давно бы сожгли на костре. Но 31 октября в Екатеринбурге бестия правила балом. Данила отыграл свой ди-джеевский сет в Дом Печати на вечеринке «NA DNE». Перед тем как он встал за пульт, Geometria удалось с ним пообщаться.
Данила, достаточно ли просто выглядеть эпатажно, чтобы на тебя обратили внимание?
Встречают обычно по одежке. Поведение – это уже следующий этап. Лично для меня важно, чтобы в человеке все было осмысленно. Либо он осознано выпендрился в необычном наряде – в таком случае, он понимает, зачем он это сделал и люди обращают на него внимание. Либо видишь, что человек из кожи вон лезет и ему это не идет.
Да, бывает, когда твоего образа не достаточно. У меня был случай, когда я зашел в метро… а на меня никто не обратил внимание. Мне стало досадно. Я снял с себя очки, повесил их на поручень и вышел. Хочется верить, что они достались такому же харизматичному человеку как я.
Ты себя больше ощущаешь, как неформал, фрик, модель или человек с необычным мышлением?
Сегодня – я диджей.
А вообще?
Определенно, модель.
Ты всегда в образе? Скажем, чтобы дойти до магазина за продуктами, ты наряжаешься?
Я восхищаюсь людьми, которые постоянно выходят за порог своей квартиры в образе. И я сам стараюсь это делать. Но иногда просто бывает лень. И в некоторые моменты я делаю усилие, чтобы нарядиться и пойти по делам.
А как ты создаешь свои образы? Как они рождаются?
Использую все, что есть под руками, что вдохновляет. Это чаще всего собирательные образы: вот эта вещь хорошо сидит, вот эти перчатки отпадно смотрятся, лосины классные – так вышел, пошел, и это будет, на мой взгляд, красиво.
На кого-то ориентируешься? Вдохновляешься?
На многих. Из последнего, что на меня повлияло это Брук Кенди – певица и стриптизерша. Она давно уже поет. В последнем видео, которое я видел с ней, ей образ создавал стилист Леди Гаги. И то, что он не смог сделать Гаге, он сделал для Брук. Это очень агрессивная подача. Мне такое очень близко. Несомненно, это показы Маккуина или Джон Гальяно. Такие образы всегда безкомпромиссно удивляют и радуют.
Тебя сложно удивить?
Нет. Я вот даже удивляюсь своим резиновым тапкам. Это крутая вещь. Специально покупал их для перфоманса в театральном магазине. Мне кажется, это шик.
По твоему мнению чего сейчас не хватает в российской модной индустрии?
В масштабах страны не хватает, чтобы это поддерживало государство. Это не правильно, когда люди своими силами, на одном лишь энтузиазме занимаются развитием моды и своими маленькими деньгами пытаются взращивать модную индустрию. Понятно, что это медленно все движется. Но чтобы это было глобальнее, в этом должно принимать участие государство.
Те вещи, которые ушли далеко в гардероб, что ты с ними делаешь?
У меня редко такое бывает. Чаще всего вещь выходит из строя. Разрушается до такой степени, что ее сложно использовать. Бывает так, что из вещей, которые у меня есть, начинаю сшивать один наряд. Или бывает, что я уезжаю на продолжительный срок. Не бываю в квартире год или два. И забываю про вещи, потом приезжаю, а у меня, оказывается, есть куча всего.
Что для тебя может быть в образе не допустимо?
Все допустимо. Кроме скуки.
Помнишь, сколько критики вызвал наряд Гаги, когда она была одета в мясо? Такое для тебя допустимо?
Зато она привлекала внимание к современному искусству и отношению к некоторым проблемам. Я смотрел ленту в FaceBook своей приятельницы. Одна новость: хотят приравнять мясоедство к убийство и насилию, через несколько постов тут же: доказано, что вегетарианство это отдельный вид шизофрении. И это, знаете ли, странно. Сама тема смахивает на шизофрению. Но в том, что медийные люди своим поведением и внешним видом поднимают общественные проблемы – в этом есть смысл.
Как ты ходишь на каблуках? Не всем девушкам даже это дано .
Я никогда не видел разницы в отношении ношения каблуков у женщин и у мужчин. Это опыт и удобная колодка.
Какая длинна у самых высоких каблуков, которые ты когда-либо носил?
(начал мерить )… Вот сколько тут?… 18см.
Как ты решил заняться диджеингом?
Я просто ставлю свою любимую музыку для кого-то. Мне звонят, предлагают, отыграть сет своей любимой музыки. Я так играю довольно давно. Записываю 2 часа музыки, а потом включаю в разном порядке. При этом, я не ориентируюсь на людей - что им нравится. Если меня позвали, я буду ориентироваться на себя. Если я буду играть музыку, которая мне не нравится, чтобы угодить кому-то, это будет вообще провал. Лучше, я отыграю музыку, которая нравится мне, и тогда я буду честным хотя бы с самим собой.
Твои музыкальные предпочтения?
Viva la Fete, Miss Kittin, Органическая Леди, The Chemical Brothers.
Собираешься развиваться в этом направлении?
Меня устраивает, когда меня зовут раз в месяц или раз в полгода. Я этим занимаюсь на протяжении лет 8. Кто-то пригласил, узнал, что я могу это сделать. А ездить постоянно… это не по мне. Я наряжаюсь, делаю образы и этим живу, а музыка это – эмоция.
Ты не первый раз в Екатеринбурге. Видел у нас людей неординарных, интересных?
Да, у вас же был модный мультибрендовый магазин. Мы сюда приезжали с Лешей Киселевым. У Леши была выставка, а я участвовал в показе. В этом плане Екатеринбург - сильный город. Много людей отсюда, кто сейчас обитает в Москве. Есть даже «ёбургскя тусовка». Там люди, которые занимают крутое положение, имеют классную репутацию, работают и являются лидерами мнений. Пожалуй, это большая гордость для города.
Беседовала: Лина Филатова.
Фото: из архива Данилы Полякова.
