Раздел II. Математический анализ
Е. Ю. Анохина
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ И СТАНОВЛЕНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ТФКП) УЧЕБНЫМ ПРЕДМЕТОМ
Одним из сложных математических курсов является курс ТФКП. Сложность этого курса обусловлена, прежде всего, разнообразием его взаимосвязей с другими математическими дисциплинами, исторически выраженной в широкой прикладной направленности науки ТФКП.
В научной литературе по истории математики существуют разрозненные сведения об истории развития ТФКП, они требуют систематизации и обобщения.
В связи с этим основной задачей данной статьи является краткое описание развития ТФКП и становление этой теории учебным предметом.
В результате проведенного исследования были выделены следующие три этапа развития ТФКП как науки и учебного предмета:
Этап возникновения и признания комплексных чисел;
Этап накопления фактического материала по функциям мнимых величин;
Этап становления теории функций комплексного переменного.
Первый этап развития ТФКП (сер. XVI в. - XVIII в.) начинается с работы Дж. Кардано (1545) который опубликовал работу «Artis magnae sive de regulis algebraitis» (Великое искусство, или об алгебраических правилах). Сочинение Дж. Кардано имело основной задачей обоснование общих алгебраических приемов решений уравнений третьей и четвертой степеней, незадолго до этого открытых Ферро (1465-1526), Тарталья (1506-1559) и Феррари (1522-1565). Если кубическое уравнение приведено к виду
х3 + рх + д = 0,
причем должно быть
Когда (ц^Ар V (|- 70 уравнение имеет три действительных корня, причем два из них
равны между собой. Если тогда уравнение имеет один действительный и два со-
пряженных комплексных корня. Комплексные числа появляются в окончательном результате, поэтому Дж. Кардано мог поступить так, как поступали и до него: объявить уравнение имеющим
один корень. Когда (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так
называемый неприводимый случай характеризуется одной особенностью, с которой до XVI века не встречались. Уравнение х3 - 21х + 20 = 0 имеет три действительных корня 1, 4, - 5 в чем легко
убедиться простой подстановкой. Но ^ду + у _ ^20у + ^-21у _ ^ ^ ^; следовательно, согласно общей формуле, х = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243 . Комплексное, т.е. «ложное», число оказывается здесь не результатом, а промежуточным членом в вычислениях, которые приводят к действительным корням рассматриваемого уравнения. Дж. Кардано столкнулся с трудностью и понял, что для сохранения общности этой формулы надо отказаться от полного игнорирования комплексных чисел. Ж. Даламбер (1717-1783) считал, что именно это обстоятельство заставило Дж. Кардано и следующих этой идеи математиков серьезно заинтересоваться комплексными числами.
На этом этапе (в XVII в.) были общепринятыми две точки зрения. Первая точка зрения была высказана Жираром, который поднял вопрос о признании необходимости ничем неограниченного использования комплексных чисел. Вторая - Декартом, который отрицал возможность интерпретации комплексных чисел. Противоположной мнению Декарта была точка зрения Дж. Валлиса -о существовании реального истолкования комплексных чисел была проигнорирована Декартом. Комплексные числа начали «вынужденно» использовать при решении прикладных задач в ситуациях, где использование действительных чисел приводили к сложному результату, либо результат не мог получиться теоретически, но имел практическую реализацию.
Интуитивное использование комплексных чисел приводило к необходимости сохранения законов и правил арифметики действительных чисел на множество комплексных чисел, в частности были попытки прямого переноса. Это приводило порой к ошибочным результатам. В связи с этим актуальными стали вопросы об обосновании комплексных чисел и построении алгоритмов их арифметики. Это явилось началом нового этапа развития ТФКП.
Второй этап развития ТФКП (начало XVIII в. - XIX в.). В XVIII в. Л. Эйлер высказал мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел С привела математиков к выводам:
Что изучение функций и математический анализ вообще приобретают должную полноту и законченность только при рассмотрении поведения функций в комплексной области;
Необходимо рассмотрение комплексных чисел в качестве переменных величин.
В 1748 г. Л. Эйлер (1707-1783) в своей работе «Введение в анализ бесконечно малых» ввел комплексную переменную в качестве наиболее общего понятия переменной величины, использовав комплексные числа при разложении функций на линейные сомножители. Л. Эйлер по праву считается одним из творцов ТФКП. В работах Л. Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного (1740-1749), даны условия дифференцируемости (1755) и начала интегрального исчисления функций комплексного переменного (1777). Л. Эйлер практически ввел конформное отображение (1777). Он называл эти отображения «подобными в малом», а термин «конформный» был впервые употреблен, по-видимому, петербургским академиком Ф. Шубертом (1789). Л. Эйлер привел также многочисленные приложения функций комплексного переменного к различным математическим задачам и положил начало применению их в гидродинамике (17551757) и картографии (1777). К. Гаусс формулирует определение интеграла в комплексной плоскости, интегральную теорему о разложимости аналитической функции в степенной ряд. Лаплас использует комплексные переменные при вычислении трудных интегралов и развивает метод решения линейных уравнений, разностных и дифференциальных известный под названием преобразования Лапласа.
Начиная с 1799 г., появляются работы, в которых даны более или менее удобные интерпретации комплексного числа и определены действия над ними. Достаточно же общая теоретическая трактовка и геометрическая интерпретация была опубликована К. Гауссом лишь 1831 году.
Л. Эйлер и его современники оставили богатое наследие потомкам в виде накопленных, где-то систематизированных, где-то нет, но все же разрозненных фактов по ТФКП. Можно сказать, что фактологический материал по функциям мнимых величин, как бы, требовал своей систематизации в виде теории. Эта теория начала свое становление.
Третий этап становления ТФКП (XIX в. - XX в.). Основные заслуги здесь принадлежат О. Коши (1789-1857), Б. Риману (1826-1866), и К. Вейерштрассу (1815-1897). Каждый из них представлял одно из направлений развития ТФКП.
Представителем первого направления, которое в истории математики называлось «теория моногенных или дифференцируемых функций» был О. Коши. Он оформил разрозненные факты по дифференциальному и интегральному исчислению функций комплексного переменного, разъяснил смысл основных понятий и операций с мнимыми. В работах О. Коши изложена теория пределов и основанная на ней теория рядов и элементарных функций, сформулирована теорема, которая полностью выясняет область сходимости степенного ряда. В 1826 г. О. Коши ввел термин: вычет (буквально: остаток). В трудах с 1826 г. по 1829 г. он создал теорию вычетов. О. Коши вывел интегральную формулу; получил теорему существования разложения функции комплексного переменного в степенные ряды (1831). О. Коши заложил основы теории аналитических функций многих переменных; определил главные ветви многозначных функций комплексного переменного; впервые использовал разрезы плоскости (1831-1847). В 1850 г. вводит понятие монодромных функции, выделяет класс моногенных функций.
Последователем О. Коши был Б. Риман, который создал и свое «геометрическое» (второе) направление развития ТФКП. Он в своих работах преодолел изолированность представлений о функциях комплексных переменных и сформировал новые отделы этой теории, тесно связанные с другими дисциплинами. Риман сделал существенно новый шаг в истории теории аналитических функций, он предложил с каждой функцией комплексного переменного связывать представление об отображении одной области на другую. Он установил различия между функциями комплексного и действительного переменного. Б. Риман положил начало геометрической теории функций, ввел риманову поверхность, разработал теорию конформных отображений, установил связь между аналитическими и гармоническими функциями, ввел в рассмотрение дзета-функцию.
Дальнейшее развития ТФКП, происходило в другом (третьем) направлении. В основу которого, была положена возможность представления функций степенными рядами. За этим направлением закрепилось в истории название «аналитическое». Оно сформировалось в работах К. Вейерштрасса, в которых на передний план он выводил понятие равномерной сходимости. К. Вейерштрасс сформулировал и доказал теорему о законности приведения подобных членов в ряде. К. Вейерштрассом был получен фундаментальный результат: предел последовательности аналитических функций, равномерно сходящейся внутри некоторой области, является функцией аналитической. Он сумел обобщить теорему Коши о разложении в степенной ряд функции комплексного переменного и описал процесс аналитического продолжения степенных рядов и его применение к представлению решений системы дифференциальных уравнений. К. Вейерштрасс установил факт не только абсолютной сходимости ряда, но и равномерной сходимости. Появляется теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение. Он закладывает основы теории аналитических функций многих переменных, строит теорию делимости степенных рядов.
Рассмотрим, развитие теории аналитических функций в России. Российские математики XIX в. долгое время не желали посвятить себя новой области математики. Не смотря на это можно назвать несколько имен, для которых она не была чуждой, и перечислить некоторые работы и достижения этих российских математиков.
Одним из российских математиков был М.В. Остроградский (1801-1861). Об исследованиях М.В. Остроградского в области теории аналитических функций известно мало, но О. Коши с похвалой отзывался об этом молодом русском ученом, который применял интегралы и дал новые доказательства формул и обобщил другие формулы. М.В. Остроградский написал работу «Замечания об определенных интегралах», в которых вывел формулу Коши для вычета функции относительно полюса п-го порядка. Он изложил применения теории вычетов и формулу Коши к вычислению определенных интегралов в обширном публичном курсе лекций, прочитанном в 1858-1859 гг.
К 30-м годам относится ряд работ Н.И. Лобачевского, имеющих непосредственное значение для теории функций комплексного переменного. Теория элементарных функций комплексного переменного содержится в его работе «Алгебра или вычисление конечных» (Казань, 1834). В которой cos х и sin х определяются первоначально для х действительного как действительная и
мнимая части функции ех^. Используя ранее установленные свойства показательной функции и степенные разложения, выводятся все основные свойства тригонометрических функций. По-
видимому, Лобачевский придавал особое значение такому чисто аналитическому построению тригонометрии, не зависящему от евклидовой геометрии.
Можно утверждать, что в последние десятилетия XIX в. и первое десятилетие XX в. фундаментальные исследования по теории функций комплексного переменного (Ф. Клейн, А. Пуанкаре, П. Кебе) состояли в постепенном выяснении того, что геометрия Лобачевского есть вместе с тем геометрия аналитических функций одного комплексного переменного.
В 1850 г. профессор Петербургского университета (впоследствии академик) И.И. Сомов (1815-1876) издал «Основания теории аналитических функций», в основу которых были положены «Новые основания» Якоби.
Однако первым по-настоящему «оригинальным» русским исследователем в области теории аналитических функций комплексного переменного был Ю.В. Сохоцкий (1842-1929). Он защитил магистерскую диссертацию «Теория интегральных вычетов с некоторыми приложениями» (СПб., 1868). С осени 1868 г. Ю.В. Сохоцкий читал курсы теории функций мнимого переменного и о непрерывных дробях с приложениями к анализу. Магистерская диссертация Ю.В. Сохоцкого посвящена приложениям теории вычетов к обращению степенного ряда (ряд Лагранжа) и в особенности к разложению аналитических функций в непрерывные дроби, а также к многочленам Лежандра. В этой работе сформулирована и доказана знаменитая теорема о поведении аналитической функции в окрестности существенно особой точки. В докторской диссертации Сохоцкого
(1873) впервые вводится в развернутом виде понятие интеграла типа Коши: *г/ ^ & _ где
а и Ь - два произвольных комплексных числа. Интеграл предполагается взятым по некоторой кривой («траектории»), соединяющей а и Ь. В этой работе доказывается ряд теорем.
Огромную роль в истории аналитических функций сыграли труды Н.Е. Жуковского и С.А. Чаплыгина, открывшие необозримую область ее приложений в аэро- и гидромеханике.
Говоря о развитии теории аналитических функций, нельзя не сказать о исследованиях С.В. Ковалевской, хотя их основное значение лежит за пределами этой теории. Успех ее работ был обусловлен совершенно новой постановкой задачи в терминах теории аналитических функций и рассмотрение времени t как комплексное переменное .
На рубеже XX в. меняется характер научных исследований в области теории функций комплексного переменного. Если раньше большинство исследований в этой области проводились в плане развития одного из трех направлений (теории моногенных или дифференцируемых функций Коши, геометрических и физических идей Римана, аналитического направления Вейерштрас-са), то теперь различия и связанные с ними споры преодолеваются, появляется и быстро растет число работ, в которых осуществляется синтез идей и методов. Одним из основных понятий, на котором явно обнаружились связь и соответствие геометрических представлений и аппарата степенных рядов, было понятие аналитического продолжения.
В конце XIX в. в теорию функций комплексного переменного входит обширный комплекс дисциплин: геометрическая теория функций, основанная на теории конформных отображений и римановых поверхностей. Получили цельную форму теории различных видов функций: целых и мероморфных, эллиптических и модулярных, автоморфных, гармонических, алгебраических. В тесной связи с последним классом функций развилась теория абелевых интегралов. К этому комплексу примыкала аналитическая теория дифференциальных уравнений и аналитическая теория чисел. Теория аналитических функций установила и укрепила связи с другими математическими дисциплинами.
Богатство взаимосвязей ТФКП с алгеброй, геометрией и другими науками, создание систематических основ самой науки ТФКП, большая ее практическая значимость способствовали становлению ТФКП как учебного предмета. Однако одновременно с завершением формирования основ, в теорию аналитических функций были внесены новые идеи, существенно изменяющие ее состав, характер и цели. Появляются монографии, содержащие систематическое изложение теории аналитических функций в стиле, близком к аксиоматическому и имеющих также учебные цели. Видимо, значимость результатов по ТФКП, полученных учеными рассматриваемого периода, побуждала их популяризировать ТФКП в виде чтения лекций и издания монографических исследований в обучающем ракурсе. Можно сделать вывод о возникновении ТФКП в качестве учебного
предмета. В 1856 г. Ш. Брио и Т. Буке издали небольшой мемуар «Исследование функций мнимого переменного», являющийся по существу первым учебным пособием. Общие концепции в теории функции комплексного переменного начали вырабатываться в лекциях. С 1856 г. К. Вейершт-расс читал лекции о представлении функций сходящимися степенными рядами, а с 1861 г. - об общей теории функций. В 1876 г. появилась специальное сочинение К. Вейерштрасса: «К теории однозначных аналитических функций», а в 1880 г. «К учению о функциях», в которых его теория аналитических функций приобрела известную завершенность.
Лекции Вейерштрасса послужили на много лет прообразом учебников по теории функций комплексного переменного, которые начали появляться с тех пор довольно часто. Именно в его лекциях был построен в основном современный стандарт строгости в математическом анализе и выделена, ставшая традиционной, структура.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. М.: Просвещение, 1975.
2. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.: ОНТИ, 1937. Ч. 1.
3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.
4. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1950.
5. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевич. М.: Наука, 1981.
6. Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 1.
7. Математическая энциклопедия / гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1979. Т. 2.
8. Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века. М.: Учпедгиз, 1963.
9. Рыбников К.А. История математики. М.: Изд-во МГУ, 1963. Ч. 2.
Н.Е. Ляхова КАСАНИЕ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
Вопрос о касании плоских кривых, в том случае, когда абсциссы общих точек находятся из уравнения вида Рп х = 0, где Р х - некоторый многочлен, напрямую связан с вопросом
о кратности корней многочлена Pn x . В данной статье сформулированы соответствующие утверждения для случаев явного и неявного задания функций, графиками которых являются кривые, а также показано применение этих утверждений при решении задач.
Если кривые, являющиеся графиками функций у = f(x) и у = ср х, имеют общую точку
М() х0; v0 , т.е. у0 = f х0 =ср х0 и касательные к указанным кривым проведенные в точке М() х0; v0 не совпадают, то говорят, что кривые у = fix) и у - ср х пересекаются в точке Mо xo;Уо
На рисунке 1 приведен пример пересечения графиков функций.
Для решения линейных дифференциальных уравнений будем использовать преобразование Лапласа.
Преобразованием Лапласа называют соотношение
ставящее функции x(t) вещественного переменного t в соответствие функцию X(s) комплексного переменного s (s = σ + jω). При этом x(t) называют оригиналом, X(s) - изображением или изображением по Лапласу и s - переменной преобразования Лапласа. Оригинал обозначают строчной, а его изображение - одноименной прописной буквой.
Предполагается, что функция x (t ), подвергающаяся преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами:
1) функция x(t) определена и кусочно дифференцируема на интервале . Точная нижняя грань s0 всех чисел з, «о = infs, для которых выполняется неравенство (1), называется показателем роста функции f(t). Замечание. В общем случае неравенство не имеет места, но справедлива оценка где е > 0 - любое. Так, функция имеет показатель роста в0 = Для нее неравенство \t\ ^ М V* ^ 0 не выполняется, но верно неравенство |f| ^ Меи. Условие (1) гораздо менее ограничительное, чем условие (*). Пример 1. функция не удовлетворяет условию (»), но условие (1) выполнено при любом s ^ I и А/ ^ I; показатель роста 5о = Так что является функцией-оригиналом. С другой стороны, функция не является функцией-оригиналом: она имеет бесконечный порядок роста, «о = +оо. Простейшей функцией-оригиналом является так называемая единичная функция Если некоторая функция удовлетворяет условиям 1 и 3 определения 1, но не удовлетворяет условию 2, то произведение уже является функцией-оригиналом. Для простоты записи мы будем, как правило, множитель rj(t) опускать, условившись, что все функции, которые мы будем рассматривать, равны нулю для отрицательных t, так что если речь идет о какой-то функции f(t), например, о sin ty cos t, el и т. д., то всегда подразумеваются следующие функции (рис. 2): п=п(0 Рис. 1 Определение 2. Пусть f{t) есть функция-оригинал. Изображением функции f(t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного, определяемая формулой ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений где интеграл берется по положительной полуоси t. Функцию F(p) называют также преобразованием Лапласа функции /(/); ядро преобразования K(t} р) = e~pt. Тот факт, что функция имеет своим изображением F(p), будем записывать Пример 2. Найти изображение единичной функции r)(t). Функция является функцией-оригиналом с показателем роста в0 - 0. В силу формулы (2) изображением функции rj(t) будет функция Если то при интеграл в правой части последнего равенства будет сходящимся, и мы получим так что изображением функции rj(t) будет функция £. Как мы условились, будем писать, что rj(t) = 1, и тогда полученный результат запишется так: Теорема 1. Лгя всякой функции-оригинала f(t) с показателем роста з0 изображение F(p) определено в полуплоскости R ер = s > s0 и является в этой полуплоскости аналитической функцией (рис. 3). Пусть Для доказательства существования изображения F(p) в указанной полуплоскости достаточно установить, что несобственный интеграл (2) абсолютно сходится при a > Используя (3), получаем что и доказывает абсолютную сходимость интеграла (2). Одновременно мы получили оценку преобразования Лапласа F(p) в полуплоскости сходимости Дифференцируя выражение (2) формально под знаком интеграла по р, находим Существование интеграла (5) устанавливается так же, как было установлено существование интеграла (2). Применяя для F"(p) интегрирование по частям, получаем оценку откуда следует абсолютная сходимость интеграла (5). (Внеинтегральное слагаемое,0.,- при t +оо имеет предел, равный нулю). В любой полуплоскости Rep ^ sj > «о интеграл (5) сходится равномерно относительно р, поскольку он мажорируется сходящимся интегралом не зависящим от р. Следовательно, дифференцированиепо р законно и равенство (5) справедливо. Поскольку производная F"(p) существует, преобразование Лапласа F(p) всюду в полуплоскости Rep = 5 > 5о является аналитической функцией. Из неравенства (4) вытекает Следствие. Если тонка р стремится к бесконечности так, что Re р = s неограниченно возрастает, то Пример 3. Найдем еще изображение функции любое комплексное число. Показатель росга «о функции /(() равен а. 4 Считая Rep = я > а, получим Таким образом, При а = 0 вновь получаем формулу Обратим внимание на то, что изображение функции eat является аналитической функцией ар1умента р не только в полуплоскости Rep > а, но и во всех точках р, кроме точки р = а, где это изображение имеет простой полюс. В дальнейшем мы не раз встретимся с подобной ситуацией, когда изображение F(p) будет аналитической функцией во всей плоскости комплексного переменного р, за исключением изолированных особых точек. Противоречия с теоремой 1 нет. Последняя утверждает лишь, что в полуплоскости Rep > «о функция F(p) не имеет особых точек: все они оказываются лежащими или левее прямой Rep = so, или на самой этой прямой. Замечай не. В операционном исчислении иногда пользуются изображением функции /(f) по Хевисайду, определяемым равенством и отличающимся от мображения по Лапласу множителем р. §2. Свойства преобразования Лапласа В дальнейшем через будем обозначать функции-оригиналы, а через - их изображения по Лапласу, Из определения изображения следует, что если Теорема 2 (единстве* мости). £biw dee непрерывные функции) имеют одно и тоже изображение, то они тождественно равны. Teopewa 3 (п«иейиост* преобраэдоияя Лапласа). Если функции-оригиналы, то для любых комплексных постоянных аир Справедливость утверждения вытекает из свойства линейности интеграла, определяющего изображение: , - показатели роста функций соответственно). На основании этогосвойства получаем Аналогично находим, что и, далее, Теорема 4 (подобия). Если f(t) - функция-оригинал и F(p) - ее изображение по Лапласу, то для любого постоянного а > О Полагая at = т, имеем Пользуясь этой теоремой, из формул (5) и (6) получаем Теорема 5 (о дифференцировании оригинала). Пусть является функцией-оригиналом с изображением F(p) и пусть - также функции-оригиналы, а где - показатель роста функции Тогда и вообще Здесь под понимается правое предельное значение Пусть. Найдем изображение Имеем Интегрируя по частям, получаем Внеинтегральное слагаемое в правой части (10) обращается в нуль при к. при Rc р = s > з имеем подстановка t = Одает -/(0). Второе слагаемое справа в (10) равно pF{p). Таким образом, соотношение (10) принимает вид и формула (8) доказана. В частности, если Для отыскания изображения f(n\t) запишем откуда, интегрируя п раз по частям, получи м Пример 4. Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найти изображение функции f(t) = sin2 t. Пусть Следовательно, Теорема 5 устанавливает замечательное свойство интегрального преобразования Лапласа: оно (как и преобразование Фурье) переводит операцию дифференцирования в алгебраическую операцию умножения на р. Формула включения. Если являются функциями-оригиналами, то В самом деле, В силу следствия из теоремы 1, всякое изображение стремится к нулю при. Значит, откуда вытекает формула включения (Теорема 6 (о дифференцировании изображения). Дифференцирование изображения сводится к умножению на оригинала, Так как функция F(p) в полуплоскости so является аналитической, то ее можно дифференцировать по р. Имеем Последнее как раз и означает, что Пример 5. Пользуясь теоремой 6, найти изображение функции 4 Как известно, Отсюда (Вновь применяя теорему 6, найдем, вообще Теорема 7 (интегрирование оригинала). Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на Положим Нетрудно проверить, что если есть функция-оригинал, то и будет функцией-оригиналом, причем. Пусть. В силу так что С другой стороны, откуда F= Последнее равносильно доказываемому соотношению (13). Пример 6. Найти изображение функции M В данном случае, так что. Поэтому Теорема 8 (интегрирование изображения). Если и интеграл сходится, то он служит изображением функции ^: ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Основные определения Свойства Свертка функций Теорема умножения Отыскание оригинала по изображению Использование теоремы обращения операционного исчисления Формула Дюамеля Интегрирование систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение интегральных уравнений Действительно, Предполагая, что путь интегрирования лежите полуплоскости so, мы можем изменить порядок интегрирования Последнее равенство означает, что является изображением функции Пример 7. Найти изображение функции М Как известно, . Поэтому Так как Положим получаем £ = 0, при. Поэтому соотношение (16) принимает вид Примере. Найти изображение функции f(t), заданной графически (рис.5). Запишем выражение для функции f(t) в следующем виде: Это выражение можно получить так. Рассмотрим функцию и вычтем из нее функцию Разность будет равна единице для. К полученной разности прибавим функцию В результате получим функцию f(t) (рис. 6 в), так что Отсюда, пользуясь теоремой запаздывания, найдем Теорема 10 (смещения). то для любого комплексного числа ро В самом деле, Теорема позволяет по известным изображениям функций находить изображения тех же функций, умноженных на показательную функцию, например, 2.1. Свертка функций. Теорема умножения Пусть функции /(£) и определены и непрерывны для всех t. Сверткой этих функций называется новая функция от t, определяемая равенством (если этот интеграл существует). Для функций-оригиналов операция свертим всегда выполнима, причем (17) 4 В самом деле, произведение функций-оригиналов как функция от т, является финитной функцией, т.е. обращается в нуль вне некоторого конечного промежутка (в данном случае вне отрезка. Для финитных непрерывных функций операция свертки выполнима, и мы получаем формулу Нетрудно проверить, что операциясвертки коммутативна, Теорема 11 (умножения). Если, то свертка t) имеет изображение Нетрудно проверить, что свертка (функций-оригиналов есть функция-оригинал с показателем роста » где, - показатели роста функций соответственно. Найдем изображение свертки, Воспользовавшись тем, что будем иметь Меняя порядок интегрирования в интеграле справа (такая операция законна) и применяя теорему запаздывания, получим Таким образом, из (18) и (19) находим - умножению изображений отвечает свертывание оригиналов, Пртер 9. Найти изображение функции А функция V(0 ость свортка функций. В силу теоремы умножения Задача. Пусть функция /(£), пориодическая с периодом Т, есгъ функция-оригинал. Показать, что ее изображение по Лапласу F(p) дается формулой 3. Отыскание оригинала по изображению Задача ставится так: дана функция F(p), надо найти функцию /(<)> изображением которой является F(p). Сформулируем условия, достаточные для того, чтобы функция F(p) комплексного переменного р служила изображением. Теорема 12. Если аналитическая в полуплоскости so функция F(p) 1) стремится к нулю при в любой полуплоскости R s0 равномерно относительно arg р; 2) интеграл сходится абсолютно, то F(p) является изображением некоторой функции-оригинала Задача. Может ли функция F(p) = служить изображением некоторой функции-оригинала? Укажем некоторые способы отыскания оригинала по изображению. 3.1. Отыскание оригинала с помощью таблиц изображений Прежде всего стоит привести функцию F(p) к более простому, «табличному» виду. Например, в случае, когда F(p) - дробно-рациональная функция аргумента р,ее разлагают на элементарные дроби и пользуются подходящими свойствами преобразования Лапласа. Пример 1. Найти оригинал для Запишем функцию F{p) в виде Пользуясь теоремой смещения и свойством линейности преобразования Лапласа, получаем Пример 2. Найти оригинал для функции 4 Запишем F(p) в виде Отсюда 3.2. Использование теоремы обращения и следствий из нее Теорема 13 (обращения). Если функция fit) есть функция-оригинал с показателем роста s0 и F(p) - ее изображение, то в любой точке непрерывности функции f(t) выполняется соотношение где интеграл берется вдоль любой прямой и понимается в смысле главного значения, т. е. как Формула (1) называется формулой обращения преобразования Лапласа, или формулой Меллина. В самом деле, пусть, например, f(t) - кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке }
